DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

 

 

 

DERIVACION FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

 

 

 

Estas derivadas suelen ser mas faciles, ya que no tienen ninguna formula ni nada de eso que hemos visto en la regla del producto, cadena, cociente.... simplemente siempre van hacer estas, veamos:

 

 

 

F(x) = senX= fʻ(x) = cosX

F(x) = CosX= fʻ(x) = -SenX

F(x) = TanX= fʻ(x) =Sec²X

F(x) =CscX= fʻ(x) = -CscX.CotanX            

F(x) =SecX= fʻ(x) = SecX. TanX

F(x) =CotanX= fʻ(x) = -Csc²X

 

 

 



REGLAS !!!!!

REGLA DEL PRODUCTO

 

 

La regla del producto gobierna la derivación del producto de funciones derivables.

Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda"

 

[F(x).g(x)]= f(x). gʻ(x) + fʻ(x).g(x)

 

 

Supongamos que tenemos la funcion f(x) = (x+2) (x-1)

Si aplicacamos la regla del producto entonces nos quedara asi :

 

Fʻ(x) = (x+2)(1)+(1)(x-1)

Fʻ(x) = x+2+x-1

Fʻ(x) = 2x+1

REGLA DEL COCIENTE

 

 La regla del cociente es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.

Se puede escribir como

F(x)= g(x) fʻ(x)-gʻ(x) f(x)/ g(x)²

 

EJEMPLO

F(x)=  x+1/x-1

Fʻ(x)= (x+1).(1)-(1).(x+1)/(x-1)²

Fʻ(x)= x-1-x-1/(x-1)²

Fʻ(x)= -2/(x-1)²

 

REGLA DE LA CADENA

 

La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

 

EJEMPLO

 

F(x)= (3x²+2x)⁸  esta función la podemos unificar ósea (ụ)⁸

ụ= (3x²+2x)⁸

Dy/dx= (8ụ) ⁷. (6x+2)

= 8(3x²+2x)⁷(6x+2)

= (3x²+2x)⁷. (48x+16)

 

 

 

 

 

DERIVADA

 

 

 

 

QUE ES LA DERIVADA

 

 

La derivada es uno de los conceptos mas importantes de las matemáticas.
técnicamente la derivada expresa el incremento de una magnitud con respecto a otro de ahí entonces que estaríamos hablando de variaciones en todo caso.

Entonces.. en matemáticas la derivada no es más que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto.

una formula sencilla para comprender es :  F(x)= axᵑ        Su derivada va hacer f(x)= anXᶯ¯¹

EJEMPLO =  F(x)= 4x⁴-2x³+5x²-4x-2 Entonces su derivada será:  f(x)= 16x³-6x²+10x+4

 

 

APLICACIONES DE LA DERIVADA

 

 

1). Un estudio de eficiencia de un obrero especializado encontro que el numero de articulos ensamblados (t) horas despues del inicio de labores a las 8 de la mañana esta dado por la expresion:

 N (t) = -t³+6t²+15t

• Nos piden encontrar la razon con que el obrero ensambla los articulos (t) horas despues de iniciar su trabajo?, y la razon con las que estara ensamblando a las 10 de la mañana?

 

SOLUCION               

 

     N ʻ(t) = -3t²+12t+15       al derivar resolvemos la primera pregunta que es la razon de cambio con la que el obrero ensambla los articulos

 

N ʻ(2) = -3(2)²+12(2)+15

= -12+24+15                               

= 27  articulos/horas  

                para resolver la otra incognita lo que hacemos es remplazarla formula, como nos dicen a las 10 de la mañana y si miramos el enunciadonos dice que las labores comienzan a las 8 de la mañana pues sencillo el obrero ha trabajado 2 horas



 

 

 

 



 

 

 



FUNCIONES TRIGONOMETRICAS¡¡¡

 

 

 

 

FUNCIONES TRIGONOMETRCIAS

 

 

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes

 

 

 

 

Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es π
  
  
  
• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen               (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

 

 

 

 

 

 

APLICACION DE LAS FUNCIONES

APLICACIÓN EN LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

          1. Obtenga los números cuya diferencia es 100 y cuyo producto es el mínimo valor posible

x-y=100

x.y= mínimo valor

x-100=y          y= x-100

x.(x-100)=mínimo valor

x²-100x= mínimo valor

xmin= -(-100)/2(1)  

=100/2 = -50

X=50

Y=50-100=-50  

Podemos observar que la función cuadrática nos sirve para resolver problemas que tal                 vez se nos presenten en nuestra vida cotidiana

2. Se dispone de 2400 metros de alambre para cercar y se desea un predio con dos lotes                           rectangulares utilizando el alambre disponible. determine las dimensiones del predio 

    que optimicen su área.

PROPIEDADES LOGARITMICAS

 

 

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

 

 

 

Existen propiedades que nos van ayudar a la hora de resolver ecuaciones logaritmicas, ya que con su aplicacion sera mas sencillo desarrolarlos, veamos:

 

 

 

1. Log-ₐ (x)  no existe el logaritmo de un numero con base negativa
2. Logₐ (-x)  no existe el logaritmo de un numero negativo
3. Logₐ (0) no existe el logaritmo de un numero cero
4. Logₐ (1)=0  el logaritmo de 1 va a ser siempre igual a cero
5. Logₐ (a)=1  el logaritmo de a en base a es igual a uno
6. Logₐ (a)ᶯ = el logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente

   
   

 

 

LEYES DE LOS LOGARITMOS

1. Logₐ(AB)= logₐ A + logₐ B     por que el logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números
2. Logₐ(A/B)= logₐ A - logₐ B     por que el logaritmo de un cociente  de números es la diferencia de los logaritmos de los números
3. Logₐ(Aᶜ)= C logₐA   por que el logaritmo de una potencia  de un número es el exponente multiplicado por el logaritmo del numero  
para poder entender un poco mas veamos un ejemplo sencillo :

• Log₂ (6.X) = log₂ 6 + log₂ X         Podemos observar que estamos aplicando la primera ley

• Log₅ (X³.Y⁶) =  log₅ X³ + log₅ Y⁶     3Log₅X + 6Log₅Y Podemos observar que lo que hacemos es aplicar la primera ley y despues aplicamos la tercera ley

 

 

 

 

 

MAS FUNCIONES....

FUNCIÓN EXPONENCIAL 

f(x)= aˣ 

a: constante

x: variable 

La manera mas sencilla de graficar una función es por medio de la tabulacion veamos:

F(x)= 2ˣ         entonces vamos a darle valores a X para poder graficar la función 

VALORES	CONSTANTE	RESULTADO
-1	2¯¹	½
0	2ᵒ	1
1	2¹	2

después de haberle dado valores a X sera mas sencillo graficar la función